Un Problema de Probabilidad que se conectó con los Números Triangulares

Es sorprendente lo que uno puede encontrar en matemáticas, el conocimiento brota sin lugar a dudas en el terreno menos pensado, prueba de ello es lo que se suscitó en una de las clases que imparto a nivel licenciatura en cierta universidad de la ciudad de Fresnillo Zacatecas México,   me refiero a la materia de estadística inferencial. Trabajaba en probabilidad clásica con mis alumnos,  desarrollábamos diversos ejercicios aplicando la fórmula de Laplace, aquella que consiste en dividir el número de casos favorables con el número de casos totales de eventos aleatorios, es decir donde interviene el azar, resulta que propuse a los estudiantes un ejercicio probabilístico con tres dados, el cual enuncio a continuación:

“Calcular la Probabilidad de que al lanzar tres dados distinguibles, la suma de los resultados sea un número mayor a doce”.

Mis alumnos se encaminaron a resolver dicho problema en sus libretas,  de igual forma me dispuse en mi escritorio a resolverlo, desarrollé el espacio muestral de dicho evento, el cual constaba de 216 posibles resultados tras calcular una variación combinatoria de 63, después construí el espacio muestral (S) y marque los resultados posibles que cumplían con el requisito del ejercicio,  es decir,  aquellos cuya suma sea mayor a doce, como se muestra en la siguiente figura:

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Figura I: Patrón encontrado en espacio muestral de problema probabilístico.

Siempre me han fascinado los patrones numéricos, las secuencias de números que presentan un orden en su distribución, una intuición me ordenó contar los casos por columna en el espacio muestral, fue una sublime sorpresa observar como emergía una secuencia que considero poesía pura en matemáticas, me refiero a los números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21…

Un número triangular es aquel que puede representarse en forma de triángulo equilátero como se muestra en la figura I. Esta secuencia de números fue estudiada por la escuela Pitagórica en la antigüedad, debido a sus exquisitas propiedades.

triagrddFigura II: Primeros términos de los Números triangulares y su disposición en forma de triángulo equilátero con  el modelo matemático que rige su distribución.

Retomando lo del hallazgo, decidí investigar más al respecto en diversas fuentes de información tanto físicas como digitales, no encontré datos relacionados,  aunque tenía ideas en mente que posibilitaban una explicación, tome la decisión de compartir el patrón con colegas matemáticos, lo primero que hice fue publicar el hallazgo en un grupo de internet llamado “Number Theory”, que en español es teoría de números, perteneciente a una red social de profesionales de todo el mundo: Linkedin.

Un profesional de las Matemáticas, cuyo nombre es Geoffrey Campbell, fue la única persona que brindó una posible explicación al patrón encontrado, como se muestras en la figura III.

CAMPPFigura III. Comentario del Matemático Campbell sobre el patrón  de los números triangulares  en el grupo “Teoría de Números” de la red social Linkedin.

Según Campbell: “Si las triplas se tratan como si fueran coordenadas del punto de la red en el 3-espacio Euclidiano, las triplas sombreadas serán vistas como representativos de una gráfica de un segmento finito de una región radial infinita limitada por la ecuación x + y + z >= 12. Las triplas marcadas son un conjunto infinito contable con la misma cardinalidad que los números naturales, a menos que me equivoque”.

Otro comentario que recibí al respecto fue por parte Guillermo Elias Martínez Dibene, quien en el grupo de “Matemáticos” de la red social de Facebook (en donde también compartí el hallazgo), complementó las conclusiones del Matemático Geoffrey Campbell como se muestra en la figura IV:

GULLDD.pngFigura IV: Comentario en el grupo Matemáticos de Facebook sobre el patrón encontrado.

Como paso final decidí  graficar las coordenadas marcadas en el patrón, lo hice tomando en cuenta las siguientes ternas:

(1,6,6);(2,5,6);(2,6,5);(2,6,6);(3,4,6);(3,5,5);(3,5,6);(3,6,4);(3,6,5);(3,6,6);(4,3,6);(4,4,5);(4,4,6);(4,5,4);(4,5,5);(4,5,6);(4,6,3);(4,6,4);(4,6,5);(4,6,6).

El resultado obtenido fue el siguiente casco convexo que se  muestra en la figura V, el cual desprende una belleza triangular  a partir de un cubo en tres dimensiones:

REEEEEEE

Figura V: Casco convexo de las coordenadas del patrón obtenido.

Conclusiones:

  • Se considera un espacio tridimensional (x, y, z) cuya suma sea al menos 12, las ternas sombreadas representarían un segmento finito de una región radial infinita limitada por la ecuación x+y+z>=12.
  • Las ternas (x, y, z)  representan un conjunto infinito contable con la misma cardinalidad que los naturales.
  • Existe proyección en dos dimensiones, cuando al espacio tridimensional intersecta con los naturales.
  • El presente artículo no se limita específicamente al sistema decimal, abriendo el telón para que el patrón pueda trabajarse  a otras bases numéricas.

AUTOR DEL ARTÍCULO : Ing. José de Jesús Camacho Medina


Es originario de Fresnillo Zacatecas México , Ingeniero en Sistemas Computacionales con Maestría en Matemática Educativa y línea de investigación en Matemática Aplicada , conocimientos y  experiencia laboral en Matemáticas e Informática , particularmente en el sector educativo. Ha impartido clases  en diferentes instituciones educativas a nivel medio superior y superior así como la ejecución de diferentes proyectos.Por mencionar algunas instituciones con las que ha tenido contacto profesional son: Universidad Autónoma de Zacatecas, Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo, Universidad Autónoma de Durango, Tecnológico de Monterrey, Universidad Interamericana para el desarrollo, Universidad CNCI, Preparatoria y Academia Comercial Remington y el Instituto de educativo Monreal Sandoval, también cuenta  con  experiencia  en el sector  empresarial. Es egresado de la Universidad Autónoma de Zacatecas y del Instituto Tecnológico Superior de Fresnillo, comparte sus actividades de docente con la investigación en el campo de la Matemática educativa y aplicada , la Asesoria de Sistemas Computacionales  y  la  Poesia.

 

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